Mantığın Gelişimi – Çağdaş Mantık

Çağdaş Mantık

Geliştirilen çok sayıdaki mantık sistemi,
bu sistemlerin hangisinin felsefe, matematik veya kuramsal bilgisayar bilimi
için uygun mantık sistemi olduğu (Eğer böyle bir tek mantık sistemi varsa!)
tartışmasını doğurmuştur. Bu tartışma çağdaş mantık felsefesinin en önemli sorusudur.

19. yüzyılın sonunda matematiğin temelleri
üzerine yapılan çalışmalar, Aristoteles mantığının dışına çıkmayı mümkün
kılmıştır.

20. ve 21 yüzyılda mantık sadece
matematikle değil, yeni ortaya çıkan kuramsal dilbilim, kuramsal bilgisayar
bilimi gibi araştırma alanlarıyla da etkileşimli olarak ilerlemiştir.

Frege’nin Mantıkçı Matematik
Görüşü

Yaygın kanıya göre doğru matematik
önermeleri aynı zamanda hem zorunlu (yani deneyimle yanlışlanamayan) hem de
dünya hakkında bilgi veren önermelerdir. Bunun nasıl olanaklı olduğu matematik
felsefesinde ortaya çıkan ilk sorulardan biridir.

Kant ve onun yaklaşımını izleyen düşünürlere
göre, doğru matematik önermelerin zorunlu olması usun yapısından
kaynaklanmaktadır. Bu önermelerin zorunlu olmalarının nedeni bizim olanaklı
deneyimimizin sınırlarını belirleyen a priori zaman ve uzam sezgilerimize dayanmalarıdır.

Frege geometri doğruları için bu Kantçı
tutumu kabul etmiştir. Aritmetiğe gelince, çalışmalarının son dönemine kadar
aritmetik doğrularının analitik doğrular olduğunu savunmuştur. Frege için bir
doğru önermenin analitik olması, o önermenin tanımlar ve mantıksal çıkarım
kuralları ile elde edilebilmesi demektir.

Frege’nin Mantık Sistemi

Aritmetiği mantığa indirgemek üzere
çalışmalar yapan Frege, Beggriffschrift’de
önermeler mantığının ve birinci basamak niceleme mantığının ilk tam belitsel
sistemini ortaya koymuştur.

Frege’nin de kabul ettiği evrenselci mantık
anlayışına göre mantık konuağımsızdır ve bu sayede her konuya uygulanabilir.

Aritmetikteki fonksiyon sembollerinin özelliği
tek başına tam bir deyim oluşturamamalarıdır: “+” tek başına tamamlanmış bir deyim
değildir yani, Frege’nin deyişiyle doymamış bir deyimdir. Bazı semboller, örneğin
“2” gibi ad sembolleri ise tek başına anlamlı, tam ya da Frege’nin deyişiyle
doymuş deyimlerdir.

Bugünkü yaygın mantığın gösterimi ile karşılaştırıldığında
Beggriffschrift sisteminin dilinin en dikkat çeken özelliği önermelerin 2
boyutlu (şema ile göstermek) bir gösterimle sunulmasıdır. Bugün kullandığımız
mantık gösterimi ise 1 boyutludur (sembol dizgeleri biçiminde göstermek) yani
önermeler yan yana yazılan sembol dizilerinden oluşmaktadır.

Beggriffschrift sistemi sayı kavramını
Frege’nin istediği gibi, mantık kavramlarına başvurarak tanımlamaya yeterli
olmamıştır. Ancak bu sorunun çözünü için başlayan çalışmalar, çağdaş mantığın
gelişmesini sağlamıştır.

Russell’ın Çalışması

Russell’da, Frege gibi, mantıkçı bir görüş
benimsemekte ve “arı matematiğin tümünün arı mantık ilkelerinden çıktığını ve
mantık terimleriyle tanımlanabilen kavramlara başvurduğunu” savunmaktadır.

Russell Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken
her özelliğin bir küme belirlediği varsayımına dayanan naif küme kuramının bir
çatışkıya yol açtığını fark etmiştir. Gerçekten, eğer her bir özellik için, o
özelliği taşıyan nesneler topluluğunun bir küme oluşturduğunu kabul edersek
kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerden oluşan topluluğu da bir küme saymamız
gerekir. Russell kümesi olarak adlandıracağımız bu kümeyi küme kuramının
sembolik dilinde {x: x  g x} biçiminde
gösterebiliriz.

Russell kümesi kendisinin bir elemanıdır
ancak ve ancak kendisinin bir elemanı değil ise.

Russell bu çatışkının bir benzerinin
Frege’nin mantık sisteminde ortaya çıktığını farkederek bunu Frege’ye yazdığı
bir mektupla bildirmiştir (Russell çatışkısı).

Russell’ın Russell çatışkısına çözümü
tipler kuramını geliştirmek olmuştur.

Russell bağıntılar mantığının kullanışlı
bir sistem olmasını engelleyen sınırlılıklarını aşarak genelleştirmeyi başarmıştır.

Russell’ın çağdaş mantığın yaygın kullanımı
açısından büyük önem taşıyan bir başarısı niceleme mantığının gösterimini
(notasyonunu) daha kolay anlaşılır hâle getirmesidir (2 boyutlu gösterimden tek
boyutlu gösterime geçmiş).

Niceleme mantığının felsefedeki en iyi
bilinen etkili uygulama denemelerinden biri, Russell’in belirli betimleme
önermelerini çözümlemesidir. Belirli betimlemeler gündelik dilin sözdiziminde
özel adlarla aynı işleve sahip gözükmektedir.

Genel olarak Russell’ın çözümlemesine göre,
“F olan biricik şey G dir” önermesinin niceleme mantığının sembolik dilindeki
karşılığı aşağıdaki gibidir:

(*) 7x (Fx Gx 6y (Fy y = x))

Görüldüğü gibi, Russell’ın çözümlemesinin
sonucunda “F olan biricik şey G dir” önermesi özne-yüklem önermesi biçimini
yitirip bir tikel genelleme önermesi ile temsil edilmektedir.

Sonuç olarak, F olan hiçbir şey olmadığında
(*) sembolik nicelemeli önermesinin Russell’a göre temsil ettiği “F olan
biricik şey G dir” önermesi de yanlış olur.

Bu çok önemli, çünkü bu sayede gerçek/reel
dünyada, duyu alanında olmayan şeyleri özne/nesne kategorisinin dışına atmış
oluyoruz. Yani metafizik, çöpe gidiyor.

Gödel
ve
Matematiğin Sınırları

Tamlık
Teoremi
: Hilbert ve Ackerman ilk kez
1928’de yayımlanan Grundzüge der Theoretischen Logik (Matematiksel Mantığın İlkeleri)
içinde, birinci-basamak mantık için bir belit sistemi ortaya koymuştur. Bu sistemin
dilinin alfabesi şu sembolleri içermektedir.

• Önerme değişkenleri X, Y, Z,…

• Birey değişkenleri x, y, z,…

• Bağıntı sembolleri F, G, H,…

• Önerme eklemleri: ~ (değilleme eklemi), (tikel-evetleme eklemi)

• Niceleyiciler: (tümel niceleyici), Ǝ (tikel niceleyici)

A) Sistemin belitleri

• X X
X

• X → X Y

• X Y
Y
X

• (X → Y) → ((Z X) (Z Y))

x Fx
→ Fx

• Fx → Ǝ x Fx

Eksiklik
Teoremleri
: Hilbert programı matematiksel analizin tutarlılığını sadece
sonlu kanıtlamalara başvurarak göstermeyi amaçlamaktaydı. Gödel matematiksel
analizin temelini oluşturan aritmetiğin tutarlılık sorununun bile bu yolla çözülemeyeceğini
göstermiştir.

Çeşitli
Mantık Sistemlerinin Gelişmesi

Kipli mantık sistemlerinin doğmasının ardında
gündelik dilde “ise” koşul ekleminin yaygın mantıkta kimi zaman “zayıf
gerektirme” diye adlandırılan yorumuna yönelik eleştiriler yatmaktadır. Örneğin,
koşul ekleminin tanımı gereği:

1. Ön-bileşen (A) yanlış bir önerme olduğunda,
art-bileşen (B) hangi önerme olursa olsun, A → B koşul önermesi doğrudur.

2. Art-bileşen (B) doğru bir önerme olduğunda,
ön-bileşen (A) hangi önerme olursa olsun, A → B koşul önermesi doğrudur.

Clarence Irving Lewis’in çalışmaları çağdaş
kipli mantık sistemlerinin gelişiminin ilk adımı olmuştur. Çalıştığı kipli mantık
sisteminde olanaksızlık ile

yanlışlığın denk olduğunu ortaya koymuştur.

Çağdaş mantıkçılar arasında kipli mantık
için kullanışlı ve sağduyusal bir yorum (semantik) geliştirmeyi ilk başaran
Rudolf Carnap’tır.
Carnap mantıksal
zorunluluk kavramını geçerlilik kavramı ile aynı anlama gelecek biçimde tanımlamaktadır.

Çağdaş mantıkta kipli önermelerin
yorumlanması konusunda en önemli adım Saul Kripke’nin olanaklı dünya semantiğini
geliştirmesidir. Kripke semantiği ile kiplerin kolayca kavranan bir formel
yorumlamaya kavuşmaları kipli mantık sistemlerine özellikle çözümlemeli felsefe
ve kuramsal bilgisayar bilimi alanlarında yaygın olarak başvurulmasını sağlamıştır.

Mantığın Gelişimi

Doç. Dr. İskender Taşdelen

Anadolu Üniversitesi Yayını, Yayın Nu: 2424

Ocak 2013, Eskişehir