DOĞRUSAL PROGRAMLAMA
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA
Matematik ve
istatistik tekniklerin ekonomik faaliyetlerin değerlendirilmesinde, sevk ve
idare problemlerinin çözüm 1 enmesindeki rolü ve etkisi özellikle önemli
olmuştur. Hızla gelişen yeni matematiksel teknikler, karar alma sürecine kolay
çözüm yolu getiren nitelikleri ile gerek özel, gerekse kamu sektörünün
ekonomik faaliyetlerinde etkinlik kazanmıştır. Sınırlı kaynak İmkânlarını
belirli amaçların gerçekleşmesine yöneltmek, doğal bir zorunluluğu da
beraberinde getirmektedir. Mevcut kaynakların belirli programlara
yöneltilmesindckı amaç, kaynak dağılımlarının optimum çözümünü sağlayacak
nitelikte olması ve tercihler seti için en iyi bileşimi vermesidir.
Matematiksel bir
teknik olarak “doğrusal programlama”, değişik nitelikteki ekonomik
faaliyetlerin karşılaştığı ya da meydana getirdiği birbirinden bağımsız
faktörlerin, sınırlı kaynak imkânlarına bağlı olarak en uygun bileşimde
biçimlenmesine önemli katkılarda bulunmaktadır. Temel olarak doğrusal programlama,
bütün ayrıntıları bilinen şartlar altında uygun bir karar alma aracıdır.
Bununla beraber, rekabetçi şartlara bağlı karar alma durumlarında, örneğin
“oyun teorisinde”, doğrusal programlama, gerek stratejiler vektörünün
tespit edilmesinde, gerekse oyunun kesin sonucunun tesitinde tam çözüm getiren
niteliği ile bu teorinin gelişmesine büyük katkılarda bulunmuştur.
Doğrusal
programlamanın temeli, matematik biliminin en eski teorilerinden birisi olan
“Aynı Anda Çözülebilir” eşitliklere dayanmaktadır. Ancak
matematiksel bir programlama olarak geçmişi yenidir. Doğrusal programlamanın
ilk ve kapsamlı teorik tartışması, ünlü Rus matematikçisi L.V. Kantorovich
tarafından yapılmıştır. Buna karşıhk tekniğin bütün sistematik açıklamalarını
yapan ve uygulayan Amerikan matematikçisi G. Dantzing olmuştur.
II. Dünya Savaş/nda
büyük askeri ve sivil harekât herşeyden daha çok bu faaliyetlerin sistematik
planlamasını ve koordinasyonunu gerektiriyordu. Leonticfin t emelde
sektörlcrara-sı ekonomik ilişkileri açıklayan, fakat optimi-zasyon gibi bir
amacı olmayan girdî-çıktı modelinin rehberliğinde doğrusal programlama konusu
araştırılmaya başlandı. Sözkonusu araştırmalar ilk defa ABD Hava
Kuvvctlcrİ’n-de yapılan planlama çalışmaları içinde yürütülmüş ise de 1947
yılına kadar programlama problemlerinin genel formülasyonunu yapmak mümkün
olmamıştır. ABD Hava Kuvvet-leri’nin bir araştırma örgütü
olanRANDCor-poration’da Dantzing tarafından 1947 yılmda planlamakta olduğu
lojûtik faaliyet ve probtemlerin, bugün bizim doğrusal programlama dediğimiz
şekli aldığına dikkat etmiş ve bu Özelliği, henüz tespit edilmemiş matematiksel
bir yapı olarak yorumlamıştır.
Dantzing’in bu
konudaki yorum ve çalışmaları J. Von Neumann, L. Hunvicz ve T.C.Ko-opmans gibi
matematikçi ve iktisatçılar tarafından desteklenmiş ve bugün “Sİmpleks
Me-tod” adını verdiğimiz metoda ulaşılmıştır. O gün için tamamen bir
askeri planlama süreci İçinde saptanan teknik, bugün matematikçiler ve
iktisatçıların geliştirdiği yeniliklere ekonomi ve sevk/İdare problemlerinde
matematiksel bir analiz aracı olarak çok yaygın bir uygulama alanına
kavuşmuştur. Özellikle gelişen bilgisayar imkânları, tekniği, bugün işletmelerin
her safhasında başarı ile kullanılan bir araç haline getirilmiştir. Malî
analizler, kaynak kullanımları, bütçeleme hatta muhasebe işlemlerinde bile
egemen hale gelen teknik, geniş kapsamlı ve değişik ilişkilerden etkilenen
sevk ve idare problemlerinin çözümünde temel metod olarak kullanılmaktadır.
Doğrusal programlama,
esas itibariyle, bir amacı belli sınırlayıcı şartlar altında maksimum ya da
minimum yapan çözüme ne şekilde varılacağını gösteren matematik bir tekniktir.
Bu yaklaşımın kavramsal çerçevesi, yani faaliyet denilen üretim birimleri
arasındaki İİİş-kilerin analizine de “faaliyet analizi” denir. Faaliyet
bir İktisadi işin yapılmasında, yani belli oranda İnputlann belli oranda
üretime dönüştürülmesinde kullanılan yöntemi ifade eder. Doğrusal programlama
matematik tekniği, çok sayıda faaliyetlerden oluşan, belli şartlarda optimal
faaliyet setini çözmeye çalışır.
Görülüyor ki, doğrusal
programlama sayısal çözümü veren matematik bir yöntem, faaliyet analizi ise bu
yöntemin kavramsal içeriğini oluşturan bir analizdir. Aralarındaki bu sıkı
ilişki nedeni İle “faaliyet analizi” ve “doğrusal
programlama” çok kere aynı anlamda kullanılırlar.
Doğrusal programlama
probleminde fonksiyonel ilişkilerin doğrusal olduğu varsayılmaktadır. Bu
doğrusallık hem amaç fonksiyonu için, hem de sınır şartlarını belirleyen denk-
lemler için
sözkonusudur. Bunlardan herhangi birinin doğrusal nitelik taşıması halinde
problem doğrusal programlama problemi olmaktan çıkacaktır.
Doğrusal programlama
probleminin ekonomide yaygın bir kullanım alanı vardır. Sözko-nusu analiz, bir
fabrikadan bir endüstriye veya bütün bir ekonomiye kadar her çeşit üretim
birimlerinde uygulanabilmektedir. Şimdi bir endüstrinin bir programlama modeli
yardımıyla optimizasyona ulaşmak istediğini düşünerek, modelin nasıl
kurulabileceğini ve modelde yer alan kavramların ne anlam taşıyacaklarım
görmeye çalışalım.
Böyle bir problemin
amaç fonksiyonu, toplam üretimin piyasa değerinin maksimum kılınması
olabilir. Yukarıda da belirtildiği gibi, bu fonksiyonun doğrusal olması
gerekecektir. Böyle bir fonksiyon şu şekilde yazılabilir:
Z =
C2X2
+ c,,x
nAn
Burada X|,X2, …,xn
endüstri tarafından üretilen n sayıda mal, cj_, C2, cn ise bu malların piyasa
fiyatlarıdır.
Öte yandan bu
endüstride üretim belli miktarda kaynakla gerçekleştirilebilir. Endüstride m
tane b miktarda kaynak olduğunu ve her maldan da bir birim üretmek için gerekli
kaynak miktarlarını gösteren input (girdi) katsayılarının (ajj) bilindiğini
kabul edelim. Buna göre sınır şartlarını belirleyen denklemler sistemi,
b2
amlxl +
am2x2
mnxn
olacaktır. Ayrıca
sistemde bilinmeyen değişkenler olarak yer alan x’lerin, yani üretilecek mal
miktarlarının negatif olamayacağı şeklinde bir diğer sınır şartının da
belirtilmesi gerekir. Buna göre, (xı,X2,..,x]1) ş.0
yazılacaktır. Şimdi bu
sistemi cebirsel ifadelerle özetleyecek olursak,
Z = E: C:Xj
doğrusal fonksiyonu ve
E;ajjX: 4 bj (i =
1,…. mvcj ~ 1…, n)
Görülüyor ki, doğrusal
programlamada bilinmeyen sayısı denklem sayısından büyüktür. Başka bir deyişle
n > m dir. Bunun sonucu olarak nihai çözümde n-m kadar x değişkeni sıfır
değer alacaktır. Dolayısıyla bu endüstride, hangi mallardan ne miktarda
üretilerek toplam üretim piyasa değerinin maksimum kılınacağı, çözüm sonucunda
anlaşılacaktır,
Doğrusal programlama
değişik şekillerde çözümlenebilir. Bu çözüm yollarının en basit şekli,
kısıtlayıcı ilişkilerin ikili eksenler üzerinde doğrular olarak çizilmesi ve
uygun çözüm alanının saptanmasıdır. Doğrusal programlama problemlerinin
çözümünde grafik yöntemlerinden yararlanabilmek için, sözkonusu problemlerin
en fazla üç değişkeni ihtiva etmesi gerekir. Çünkü üç boyuttan daha fazlası
için grafik çizimi yapılamamaktadır.
Bazı hallerde maıriks
cebir aracılığı ile tam uygun çözüm alanının saptanması İmkânı vardır. Ancak
matriks çözüm her doğrusal programlama ilişkisinde mutlaka amaç fonksiyonunun
maksimum veya minimum kılan çözümünü getirmeyebilir. Bununla beraber matriks
Çözüm ile saptanan değişken değerleri mutlaka uygun çözüm alanı içinde yer
alırlar.
Doğrusal programlama
çözümlerinin en mükemmel şekli olan sİmpleks metod; her tip doğrusal
programlama çözümlerinde kullanılabilir niteliktedir. Sİmpleks metod uygulamasında
programda içerilen değişken sayısının çözümün pratik olarak izlenmesinde hiç
bir
olumsuz etkisi
olmadığı gibi aksine bu İlişkiyi kolayca İzleme imkânı kazandırıcı niteliği vardır.
Mustafa SEVÜKTEKİN Bk.
Gircli-Çıktı Analizi; Oyun Teorisi