PROBABİLİTE
PROBABİLİTE
Probabİlitenin çeşitli
tanımlarını vermek mümkündür. Mesela bir tanıma göre,
“ihtimal-probabilite, olasılık, gelecekteki bir olay hakkındaki ümidimizin
kuvvetinin bir ölçüsüdür”, ihtimal in -probabi I iten in-klasik bir tanımı
şöyle yapılmaktadır: Bir olaya ilişkin bütün mümkün halleri,
“elverişli” ve “elverişsiz” şeklinde iki gruba ayırıp,
birinci gruptaki hallerin sayısını “a” ve ikinci gruptakilerin sayısını
“b” ile gösterelim. Bütün bu haller aynı derecede muhtemel olup,
karşılıklı olarak birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini imkansız
kılarsa “elverişli halin ortaya çıkması ihtimali” a/(a+b) yani
elverişli hallerin sayısının bütün mümkün hallerin sayısına oranıdır.
“Elverişsiz halin ortaya çıkması ihtimali” ise, aynı mantıkla b/(a+b)
olur.
Eğer bir olay mutlaka
meydana gelecekse, olayın gerçekleşme ihtimali “1” sayısı ile ifade
edilir. Buna “mutlak hal” veya “kesin hal” adı verilir. Ayrıca,
eğer bir olay aynı Şartlar altında çeşitli şekillerde meydana gelebiliyorsa ve
bu şekillerden bazıları elverişli veya elverişsiz şekilde gerçekleşmesi
kesinlikle beklenen bir sonuçtur. Bu durumda gerçekleşecek herhangi bir olayın
meydana gelme ihtimali de “1” sayısı ile ifade edilir. Buna karşılık
bir olayın belli şartlar altında meydana gelmesi imkansız ise, olayın
gerçekleşme ihtimaline verilecek sayısal değer “O” dır. Bu duruma
göre, herhangi bir ihtimal ölçüsü “O” ile “1” arasında bir
değere sahip olur. Elverişli hal ihtimali “p”, elverişsiz hal
ihtimali ise “1-p” şeklinde ifade edilir.
İhtimalin nisbi
frekans olarak tanımı ise şöyle yapılmaktadır: Çok defa tekrarlanan bir deneyle
elde edilen sonuçlardan elverişli olanların sayısının bütün deneyler sayısına
oranı, deney sayısı sonsuz büyüdükçe, belirli bir limite yaklaşır. Sözkonusu
limite, “bu deneyden elverişli bir sonuç elde etme ihtimali” adı
verilir. Herhangi bir olay için, elverişli hallerin bütün mümkün haller sayısına
oranına, “elverişli hallerin nisbi frekansı” denir. Böylelikle,
“ihtimal nisbi fre-
kansın limit
değeridir” şeklinde bir tanıma ulaşılır. Mesela kusursuz, dengeli bir
parayı 100 defa havaya fırlattığımız zaman, 50 defa yazı gelmesi beklenir.
Oysa böyle bir deneme yapıldığında, tam 50 defa yazı gelmesini ümit etmek
fazla iyimserlik olur. Bununla birlikte, deney sayısı arttırıldıkça elde
edilen yazı sayısının bütün deney sayısına oranının, giderek %50 oranına
yaklaştığı tespit olunabilir.
Yukarıdaki tanımı şu
şekilde formüle edebiliriz:
p=lim a n °°b
“a/bnin beklenen
değeri” şeklinde okunmak Üzere, sözkonusu formülü
p=E (a/b)
şeklinde yazmak da
mümkündür.
İhtimal teorisi ile
ilgili açıklamaların daha iyi ifade edilebilmesi için bazı kavramların
açıklığa kavuşturulması gereklidir. Bu kavramlardan önemlileri şunlardır:
1) Basit ve bileşik olaylar:
Tek bir deneyde bir sonuç olarak gerçekleşen
olaylara “basit olay” adı verilir. Buna karşılık, iki veya daha çok
olayın birlikte veya biribiri ardınca meydana gelmesine “bileşik
olay” denir. Basit bir olayın gerçekleşme ihtimali P(E) şeklinde
gösterilir. Buna karşılık El ve E2 iki olayı ifade etmek üzere, bileşik
olayların gerçekleşme ihtimali ise P (El n E2) şeklinde ifade edilir.
2) Bağımsız ve bağımlı olaylar:
Olaylardan birinin
sonucu diğerini etkilemiyorsa, bu olaylara “bağımsız olaylar” denir.
Buna karşılık, herhangi bir olayın gerçekleşme şekli diğer bir olayın sonucuna
göre değişebiliyorsa, böyle iki olaya “bağımlı olaylar” adı verilir.
3) §artlı ihtimal:
Bağımlı olaylardan
birinin (El) gerçekleştiği bilindiğinde, diğerinin (E2) ona bağlı olarak
meydana gelme ihtimali hesaplanabilir. Bu ihtimali P(E2) ihtimalinden
ayırdetmek için P(E2/E1) sembolünü kullanabiliriz, işte P(E2/E1) ihtimaline
“El verildiğinde E2’nin şartlı ihtimali” veya “E2’nin El’e
bağlı şartlı ihtimali” adı verilir. P(E1) * 0 olmak üzere P(E2/E1) şu
şekilde hesaplanır:
P(E2/E 1)= P(E1 n E2)
P(E1)
İhtimal
hesaplamalarında uygulanması gereken başlıca kurallar ise kısaca şöyle
açıklanabilir:
1- Şartlı
ihtimallerde çarpma kuralı: İki bağımlı olaydan E2, El’dcn sonra ve ona bağlı
olarak meydana geliyorsa, bu olayların her ikisinin de gerçekleşmesi ihtimali
(büeşik İhtimal) şu şekilde hesaplanır:
P(E1 n E2) =
P(E1).P(E2/EI)
2- Bağımsız
olaylarda çarpma kuralı: Bir bileşik olayı oluşturan El ve E2 birbirinden
bağımsız İse, diğer bir deyişle şartlı ihtimal sözkonusu değilse, El n ve E2
olaylarının her İkisinin de gerçekleşmesi ihtimali (bileşik ihtimal)
hesabında şu formülden yararlanılır:
P(ElnE2)=P(El).P(E2)
3- Birbirlerini
engelleyen olaylarda toplama kuralı: El ve E2 olayları birbirlerini engelleyen
türden olduklarında El veya E2’nin gerçekleşmesi ihtimali bu olayların ayrı ayn
meydana gelmeleri ihtimalleri toplamına eşittir:
P(E1UE2) = P(EI)+P(E2)
4-
Birbirlerini engellemeyen olaylarda toplama kuralı: El ve E2 olayları birbirlerini
engelleyen türden olmadıklarında El ve E2’nin gerçekleşmesi ihtimali, bu olayların
ayn ayn meydana gelmeleri ihtimalinin
toplamından, birlikte
meydana gelmeleri ihtimalinin çıkartılması suretiyle bulunur: P(E1UE2)=
P(E1)+P(E2)- P(E1 n E2)
Mustafa SEVÜKTEKİN