PROBABİLİTE

199

 

PROBABİLİTE

 

Probabİlitenin çeşitli
tanımlarını ver­mek mümkündür. Mesela bir tanıma göre,
“ihtimal-probabilite, olasılık, gelecekteki bir olay hakkındaki ümidimizin
kuvvetinin bir ölçüsüdür”, ihtimal in -probabi I iten in-klasik bir tanımı
şöyle yapılmaktadır: Bir olaya ilişkin bütün mümkün halleri,
“elverişli” ve “elverişsiz” şeklinde iki gruba ayı­rıp,
birinci gruptaki hallerin sayısını “a” ve ikinci gruptakilerin sayısını
“b” ile göstere­lim. Bütün bu haller aynı derecede muhte­mel olup,
karşılıklı olarak birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini im­kansız
kılarsa “elverişli halin ortaya çıkma­sı ihtimali” a/(a+b) yani
elverişli hallerin sayısının bütün mümkün hallerin sayısına oranıdır.
“Elverişsiz halin ortaya çıkması ihtimali” ise, aynı mantıkla b/(a+b)
olur.

Eğer bir olay mutlaka
meydana gelecek­se, olayın gerçekleşme ihtimali “1” sayısı ile ifade
edilir. Buna “mutlak hal” veya “kesin hal” adı verilir. Ayrıca,
eğer bir olay aynı Şartlar altında çeşitli şekillerde meydana gelebiliyorsa ve
bu şekillerden bazıları el­verişli veya elverişsiz şekilde gerçekleşme­si
kesinlikle beklenen bir sonuçtur. Bu du­rumda gerçekleşecek herhangi bir olayın
meydana gelme ihtimali de “1” sayısı ile ifa­de edilir. Buna karşılık
bir olayın belli şart­lar altında meydana gelmesi imkansız ise, olayın
gerçekleşme ihtimaline verilecek sa­yısal değer “O” dır. Bu duruma
göre, her­hangi bir ihtimal ölçüsü “O” ile “1” arasında bir
değere sahip olur. Elverişli hal ihtimali “p”, elverişsiz hal
ihtimali ise “1-p” şeklinde ifade edilir.

İhtimalin nisbi
frekans olarak tanımı ise şöyle yapılmaktadır: Çok defa tekrarlanan bir deneyle
elde edilen sonuçlardan elveriş­li olanların sayısının bütün deneyler sayısı­na
oranı, deney sayısı sonsuz büyüdükçe, belirli bir limite yaklaşır. Sözkonusu
limite, “bu deneyden elverişli bir sonuç elde etme ihtimali” adı
verilir. Herhangi bir olay için, elverişli hallerin bütün mümkün haller sa­yısına
oranına, “elverişli hallerin nisbi fre­kansı” denir. Böylelikle,
“ihtimal nisbi fre-

kansın limit
değeridir” şeklinde bir tanıma ulaşılır. Mesela kusursuz, dengeli bir
parayı 100 defa havaya fırlattığımız zaman, 50 de­fa yazı gelmesi beklenir.
Oysa böyle bir de­neme yapıldığında, tam 50 defa yazı gelme­sini ümit etmek
fazla iyimserlik olur. Bu­nunla birlikte, deney sayısı arttırıldıkça el­de
edilen yazı sayısının bütün deney sayısı­na oranının, giderek %50 oranına
yaklaştığı tespit olunabilir.

Yukarıdaki tanımı şu
şekilde formüle edebiliriz:

p=lim a n  °°b

“a/bnin beklenen
değeri” şeklinde okun­mak Üzere, sözkonusu formülü

p=E (a/b)

şeklinde yazmak da
mümkündür.

İhtimal teorisi ile
ilgili açıklamaların da­ha iyi ifade edilebilmesi için bazı kavramla­rın
açıklığa kavuşturulması gereklidir. Bu kavramlardan önemlileri şunlardır:

 

1) Basit ve bileşik olaylar:

 

 Tek bir de­neyde bir sonuç olarak gerçekleşen
olaylara “basit olay” adı verilir. Buna karşılık, iki veya daha çok
olayın birlikte veya biribiri ardınca meydana gelmesine “bileşik
olay” denir. Basit bir olayın gerçekleşme ihtimali P(E) şeklinde
gösterilir. Buna karşılık El ve E2 iki olayı ifade etmek üzere, bileşik
olayların gerçekleşme ihtimali ise P (El n E2) şeklinde ifade edilir.

 

2) Bağımsız ve bağımlı olaylar:

 

Olay­lardan birinin
sonucu diğerini etkilemiyor­sa, bu olaylara “bağımsız olaylar” denir.
Buna karşılık, herhangi bir olayın gerçek­leşme şekli diğer bir olayın sonucuna
göre değişebiliyorsa, böyle iki olaya “bağımlı olaylar” adı verilir.

 

3) §artlı ihtimal:

 

Bağımlı olaylardan
birinin (El) gerçekleştiği bilindiğinde, diğe­rinin (E2) ona bağlı olarak
meydana gelme ihtimali hesaplanabilir. Bu ihtimali P(E2) ihtimalinden
ayırdetmek için P(E2/E1) sembolünü kullanabiliriz, işte P(E2/E1) ih­timaline
“El verildiğinde E2’nin şartlı ihti­mali” veya “E2’nin El’e
bağlı şartlı ihtima­li” adı verilir. P(E1) * 0 olmak üzere P(E2/E1) şu
şekilde hesaplanır:

P(E2/E 1)= P(E1 n E2)
P(E1)

İhtimal
hesaplamalarında uygulanması gereken başlıca kurallar ise kısaca şöyle
açıklanabilir:

1- Şartlı
ihtimallerde çarpma kuralı: İki bağımlı olaydan E2, El’dcn sonra ve ona bağlı
olarak meydana geliyorsa, bu olayla­rın her ikisinin de gerçekleşmesi ihtimali
(büeşik İhtimal) şu şekilde hesaplanır:

P(E1 n E2) =
P(E1).P(E2/EI)

2- Bağımsız
olaylarda çarpma kuralı: Bir bileşik olayı oluşturan El ve E2 birbi­rinden
bağımsız İse, diğer bir deyişle şartlı ihtimal sözkonusu değilse, El n ve E2
olay­larının her İkisinin de gerçekleşmesi ihti­mali (bileşik ihtimal)
hesabında şu formül­den yararlanılır:

P(ElnE2)=P(El).P(E2)

3-  Birbirlerini
engelleyen olaylarda toplama kuralı: El ve E2 olayları birbirle­rini engelleyen
türden olduklarında El veya E2’nin gerçekleşmesi ihtimali bu olayların ayrı ayn
meydana gelmeleri ihtimalleri top­lamına eşittir:

P(E1UE2) = P(EI)+P(E2)

4-
Birbirlerini engellemeyen olaylarda toplama kuralı: El ve E2 olayları birbirle­rini
engelleyen türden olmadıklarında El ve E2’nin gerçekleşmesi ihtimali, bu olayla­rın
ayn ayn meydana gelmeleri ihtimalinin

toplamından, birlikte
meydana gelmeleri ihtimalinin çıkartılması suretiyle bulunur: P(E1UE2)=
P(E1)+P(E2)- P(E1 n E2)

Mustafa SEVÜKTEKİN