Matematiğin Temellerinden Anlambilime

Matematiğin Temellerinden Anlambilime

Kantçı metafiziğin eleştirisi üzerinden
dilin ve dilin mantığının felsefenin odağına yerleşmesi süreci, analitik
felsefenin doğduğu süreç olarak kabul edilebilir.
Analitik felsefe, özellikle sentetik a priori yargıların ve
bu yargıları olanaklı kılan saf görünün eleştirisi üzerinden şekillenmiştir.

Kant kendi transandantal felsefesinde
metafiziğin olanağını sorgulamış ve spekülatif metafiziği kıyasıya eleştirmiştir.

Kantçı metafiziğin merkezinde Kant’ın
sentetik a priori olarak adlandırdığı yargılar yer alıyordu. Kant’a göre
matematiğin yargıları ve kuramsal fiziğin temelinde yer alan yargılar evrensel
zorunluluğa ve nesnel geçerliliğe sahip sentetik a priori yargılardı.

Euklidesçi olmayan geometrilerin keşfedilmesi
Kantçı matematik anlayışını derinden etkilemiştir. Matematiğin mantığa
indirgenebileceği ve bu itibarla da matematiğin önermelerinin analitik olduğunun
gösterilmesi, özellikle Gottlob Frege’nin
çalışmaları ile ivme kazanmıştır.

Kant’ın
Yargıları Sınıflandırması

Kant, kendi dizgesinde önermelerin değil
yargıların sınıflandırmasından söz eder. Kant’a göre yargı, düşünme yetisinin
bir edimidir.

Kant, kendi sınıflandırmasını iki farklı
boyutta gerçekleştirmiştir. Birinci boyut, bilgibilimle;
ikinci boyut ise anlambilimle ilgili olarak
görülebilir. Birinci boyuta göre, bir yargının doğruluğuna karar verebilmek
için ampirik deneyime ihtiyaç yoksa bu yargı, a priori;
eğer ihtiyaç varsa, a posteriori olarak adlandırılır.
İkinci boyuta göre ise yargıda, özne konumunda olan kavram içerisinde yüklem
konumunda olan kavram içeriliyorsa söz konusu yargı, analitik;
içerilmiyorsa, sentetik olarak adlandırılır. Analitik
olan bir yargının doğrulanması için, deneyime başvurmamıza ihtiyaç yoktur.

Kant, bu ikili sınışandırmadan hareketle
dört farklı yargı türü belirlemiştir: analitik a priori, sentetik a posteriori
ve sentetik a priori yargılar.

Analitik yargılar, sahip olduğumuz bir
kavramda içerilen bilgiyi açıklayıcı bir özelliktedir. Sentetik yargılar ise
bilgimizi genişletir. Sentetik a priori yargılar, hem bilgimizi genişletmekte
hem de duyu deneyimine ihtiyaç göstermeksizin doğru olabilmektedir.

Kant’a göre, geometrinin aksiyomları, bu
itibarla sentetik ve a priori’dir. Sentetik ve a priori olmaları itibariyle de
evrensel zorunluluğa ve nesnel geçerliliğe sahiptir. Euklidesçi olmayan
geometrilerin keşfinden sonra Kant’ın bu keskin ifadeleri sarsıldı.

Euklidesçi
Olmayan Geometriler

Euklides, Unsurlar (İng. Elements) adlı eseri beş
aksiyoma dayanarak pek çok geometri teoreminin ispat edilmesini içerir.

1. Bir noktadan bir başka noktaya doğru bir
çizgi çizilebilir

2. Bir doğru çizgi üzerinde sonlu ve
sürekli bir doğru parçası çizilebilir

3. Belli bir noktayı merkez ve herhangi bir
uzunluğu yarıçap olarak alarak bir çember çizilebilir

4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.

5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde,
kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu
iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulunduğu tarafta kesişir.

Beşinci aksiyom uzun yıllarda tartışmalara
neden oldu. Proclus (410-485),
Unsurlar üzerine bir şerh kaleme aldı ve beşinci aksiyomun ilk dördünden
türetilmesine ilişkin çabalara yer verdi.
Öte
yandan, beşinci aksiyoma eşdeğer bir başka aksiyom öne sürdü: Bir doğru ve bu
doğru üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, bu noktadan geçen ve doğruya
paralel olan bir ve yalnız bir doğru çizilebilir.

1697 yılında Girolomo Saccheri beşinci aksiyomun yanlış olduğunu varsayıp buradan
hareketle bir çelişki türetmeye çalıştı.

1766 yılında Lambert, dar açı varsayımı altında, bir üçgenin alanı azaldıkça iç
açılar toplamının arttığını gösterdi.

Proclus’un bu postülası, 1795’te John Playfair’in yazdığı bir şerhten sonra,
Playfair’in aksiyomu olarak anılır oldu. Playfair, kendi şerhinde beşinci aksiyomun
kendi aksiyomu ile değiştirilmesini önerdi.

Gauss, 1813 yılında “Paraleller kuramı konusunda şu anda bile
Euklides’ten ileride değiliz. Bu matematiğin utanç verici bir kısmıdır…”
demek zorunda kaldı.

Gauss, paralel aksiyomu üzerinde meslektaşı
Farkas Bolyai ile görüş alışverişinde bulunurdu. Bolyai, matematikçi
olarak yetiştirdiği oğlu János Bolyai’ye, beşinci aksiyom problemi üzerine bir
saat bile harcamamasını salık veriyordu. Ancak János Bolyai babasını
dinlemedi.
1823’te babasına yazdığı
mektupta, “Keşfettiğim şeyler o kadar harika ki şaşkına döndüm. Hiçlikten başlayarak
acayip yeni bir dünya yarattım.” yazdı.

Bolyai’nin gerçekleştirdiği sıçrama, yeni
bir geometrinin olanaklı olmasıydı.

Bir Rus matematikçi Lobachevsky, Gauss’un ve Bolyai’nin çalışmalarından habersiz olarak
1829’da, Euklidesçi olmayan geometriler üzerine bir çalışma yayımladı.

Gauss’un doktora öğrencilerinde olan Riemann, 10 Haziran 1854 tarihinde verdiği
açılış dersinde, yeni bir geometri anlayışından söz etti.

Euklidesçi olmayan geometrilerin bir modele
sahip olabileceğini ilk kez Eugenio Beltrami
(1835 – 1900) ortaya koydu.

Daha sonra Klein, 1871 yılında tüm Euklidesçi olmayan geometriler için birer
model ortaya koydu.

Geometrinin
Aksiyomlarının Mahiyeti

Euklidesçi olmayan geometrilerin keşfedilmesinden
sonra geometride bazı tartışmalar ortaya çıktı. Bir geometri, tek bir
paralelden söz ederken bir diğeri, hiçbir paralelin çizilemeyeceğinden ya da
birden fazla (hatta sonsuz sayıda) paralelin çizilebilmesinden söz etmektedir.

Kant’ın iddia ettiği gibi, geometrinin
aksiyomları evrensel zorunluluğa ve nesnel gerçerliliğe sahip ise bunların
hepsinin aynı anda zorunlu ve nesnel geçerli olması gerekir. Ancak, birbiriyle
çelişik iki önerme bir ve aynı anda zorunlu ve nesnel geçerli olamaz. Bu gelişmelerin
sonucunda, geometrinin aksiyomlarının, sentetik a priori yargılar olduğu düşüncesi
savunulamaz bir hale gelmiştir. Öyleyse, geometrinin aksiyomlarının
anlambilimsel ve bilgibilimsel statüsü hakkında ne söylenecektir?
Bu konuda yürütülen bir tartışma, geometrinin aksiyomları
içerinde adı geçen “nokta”, “düz çizgi” gibi temel terimlerin mahiyeti ile
ilgilidir.

Poincaré, 1880’lerden itibaren geometrinin aksiyomlarının ne olgusal
bir içeriğe sahip olduğunu ne mantıksal bir zorunluluğu ifade ettiğini ne de
sentetik a priori yargılara dayanmakta olduğunu ve fakat “örtük tanımlar” olduğunu
savunmuştur. Hilbert’te benzer bir
biçimde, geometrinin aksiyomlarının tanımlar olduğunu ifade etmiştir.
Russell ve Frege ise bu
yaklaşımlara karşı çıkmışlardır.

Geometrinin aksiyomlarında sözü geçen basit
ve tanımsız kabul edilen terimlerin mahiyeti üzerine yürütülen tartışmalar,
genelde dilin ve mantığın mahiyetinin belli bir biçimde anlaşılması için
anahtar rolü oynamıştır.

Kant, kendi düşüncesi içerisinde Platoncu
ideaların ve söz konusu bu idealara ilişkin bilgi sahibi olmamızın aracı
ola-rak entelektüel görünün bir eleştirisini sunmuştur. Kant’ın metafiziğin
olanaklılığına ilişkin eleştirisinin merkezinde, Platonculuğun bir eleştirisi
yer almaktadır.

Kant, matematiksel yargıları
temellendirmeye çalışırken, kavramsal bilgiye karşıt olarak yine görüsel
bilgiden yararlanmış ve matematiğin saf görüye dayandığını savunmuştur. Netice
olarak, sentetik a priori yargılar, saf görüde inşa olunan nesnelerin dolaysız bilgisine
dayanmaktadır.

Kant, geometri bilgisini sentetik a priori
bilgi olarak tanımlamıştı. Euklidesçi olmayan geometrilerin keşfi, Kant’ın çok
fazla güvendiği sentetik a priori bilginin işasına yol açtı. Bunun neticesinde
mantıksal bilginin kaynağı yeniden sorgulanmaya başlandı.

Bu bağlamda, geometrinin aksiyomlarının örtük
tanımlar olduğunun ortaya konulması, iki bakımdan çok önemlidir: Bu yaklaşım,
bir yandan matematiğin mantıksal olana indirgenmesi bakımından büyük önem taşımaktadır;
öte yandan da bu indirgeme esnasında, görüsel bir bilgiye gönderme yapılmamış
olmaktadır. A priori olanın temellendirilmesi sadece ve sadece dilin sınırları
içerisinde kuşatılabilmektedir.

Felsefenin dilin sınırları içerisine
çekilmesi sürecine son noktayı ise Wittgenstein Tractatus adlı eserinde koymuştur.

Aritmetiğin
Mantığa İndirgenmesi

Aritmetiğin dilsel – mantıksal olana
indirgenmesi sürecinde en önemli katkı hiç şüphesiz Gottlob Frege’den gelmiştir.

Çağdaş Felsefe I

Yrd. Doç. Dr. Ahmet Ayhan Çitil

Anadolu Üniversitesi Yayınları, Yayın Nu:
2446

Eskişehir, Nisan 2012