DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

 

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

 

Matematik ve
istatistik tekniklerin ekono­mik faaliyetlerin değerlendirilmesinde, sevk ve
idare problemlerinin çözüm 1 enmesindeki rolü ve etkisi özellikle önemli
olmuştur. Hızla gelişen yeni matematiksel teknikler, karar al­ma sürecine kolay
çözüm yolu getiren nitelik­leri ile gerek özel, gerekse kamu sektörünün
ekonomik faaliyetlerinde etkinlik kazanmış­tır. Sınırlı kaynak İmkânlarını
belirli amaçla­rın gerçekleşmesine yöneltmek, doğal bir zo­runluluğu da
beraberinde getirmektedir. Mevcut kaynakların belirli programlara
yöneltilmesindckı amaç, kaynak dağılımlarının opti­mum çözümünü sağlayacak
nitelikte olması ve tercihler seti için en iyi bileşimi vermesidir.

Matematiksel bir
teknik olarak “doğrusal programlama”, değişik nitelikteki ekonomik
faaliyetlerin karşılaştığı ya da meydana getirdi­ği birbirinden bağımsız
faktörlerin, sınırlı kay­nak imkânlarına bağlı olarak en uygun bile­şimde
biçimlenmesine önemli katkılarda bu­lunmaktadır. Temel olarak doğrusal program­lama,
bütün ayrıntıları bilinen şartlar altında uygun bir karar alma aracıdır.
Bununla bera­ber, rekabetçi şartlara bağlı karar alma du­rumlarında, örneğin
“oyun teorisinde”, doğru­sal programlama, gerek stratejiler vektörü­nün
tespit edilmesinde, gerekse oyunun kesin sonucunun tesitinde tam çözüm getiren
niteli­ği ile bu teorinin gelişmesine büyük katkılar­da bulunmuştur.

Doğrusal
programlamanın temeli, matema­tik biliminin en eski teorilerinden birisi olan
“Aynı Anda Çözülebilir” eşitliklere dayanmak­tadır. Ancak
matematiksel bir programlama olarak geçmişi yenidir. Doğrusal programla­manın
ilk ve kapsamlı teorik tartışması, ünlü Rus matematikçisi L.V. Kantorovich
tarafın­dan yapılmıştır. Buna karşıhk tekniğin bütün sistematik açıklamalarını
yapan ve uygulayan Amerikan matematikçisi G. Dantzing olmuş­tur.

II. Dünya Savaş/nda
büyük askeri ve sivil ha­rekât herşeyden daha çok bu faaliyetlerin sis­tematik
planlamasını ve koordinasyonunu ge­rektiriyordu. Leonticfin t emelde
sektörlcrara-sı ekonomik ilişkileri açıklayan, fakat optimi-zasyon gibi bir
amacı olmayan girdî-çıktı mo­delinin rehberliğinde doğrusal programlama konusu
araştırılmaya başlandı. Sözkonusu araştırmalar ilk defa ABD Hava
Kuvvctlcrİ’n-de yapılan planlama çalışmaları içinde yürütül­müş ise de 1947
yılına kadar programlama problemlerinin genel formülasyonunu yap­mak mümkün
olmamıştır. ABD Hava Kuvvet-leri’nin bir araştırma örgütü
olanRANDCor-poration’da Dantzing tarafından 1947 yılmda planlamakta olduğu
lojûtik faaliyet ve probtemlerin, bugün bizim doğrusal programlama dediğimiz
şekli aldığına dikkat etmiş ve bu Özelliği, henüz tespit edilmemiş matematiksel
bir yapı olarak yorumlamıştır.

Dantzing’in bu
konudaki yorum ve çalışma­ları J. Von Neumann, L. Hunvicz ve T.C.Ko-opmans gibi
matematikçi ve iktisatçılar tara­fından desteklenmiş ve bugün “Sİmpleks
Me-tod” adını verdiğimiz metoda ulaşılmıştır. O gün için tamamen bir
askeri planlama süreci İçinde saptanan teknik, bugün matematikçiler ve
iktisatçıların geliştirdiği yeniliklere ekono­mi ve sevk/İdare problemlerinde
matematik­sel bir analiz aracı olarak çok yaygın bir uygu­lama alanına
kavuşmuştur. Özellikle gelişen bilgisayar imkânları, tekniği, bugün işletmele­rin
her safhasında başarı ile kullanılan bir araç haline getirilmiştir. Malî
analizler, kay­nak kullanımları, bütçeleme hatta muhasebe işlemlerinde bile
egemen hale gelen teknik, geniş kapsamlı ve değişik ilişkilerden etkile­nen
sevk ve idare problemlerinin çözümünde temel metod olarak kullanılmaktadır.

Doğrusal programlama,
esas itibariyle, bir amacı belli sınırlayıcı şartlar altında maksi­mum ya da
minimum yapan çözüme ne şekil­de varılacağını gösteren matematik bir teknik­tir.
Bu yaklaşımın kavramsal çerçevesi, yani fa­aliyet denilen üretim birimleri
arasındaki İİİş-kilerin analizine de “faaliyet analizi” denir. Fa­aliyet
bir İktisadi işin yapılmasında, yani belli oranda İnputlann belli oranda
üretime dönüş­türülmesinde kullanılan yöntemi ifade eder. Doğrusal programlama
matematik tekniği, çok sayıda faaliyetlerden oluşan, belli şartlar­da optimal
faaliyet setini çözmeye çalışır.

Görülüyor ki, doğrusal
programlama sayısal çözümü veren matematik bir yöntem, faaliyet analizi ise bu
yöntemin kavramsal içeriğini oluşturan bir analizdir. Aralarındaki bu sıkı
ilişki nedeni İle “faaliyet analizi” ve “doğrusal
programlama” çok kere aynı anlamda kullanı­lırlar.

Doğrusal programlama
probleminde fonksi­yonel ilişkilerin doğrusal olduğu varsayılmak­tadır. Bu
doğrusallık hem amaç fonksiyonu için, hem de sınır şartlarını belirleyen denk-

lemler için
sözkonusudur. Bunlardan herhan­gi birinin doğrusal nitelik taşıması halinde
problem doğrusal programlama problemi ol­maktan çıkacaktır.

Doğrusal programlama
probleminin ekono­mide yaygın bir kullanım alanı vardır. Sözko-nusu analiz, bir
fabrikadan bir endüstriye ve­ya bütün bir ekonomiye kadar her çeşit üre­tim
birimlerinde uygulanabilmektedir. Şimdi bir endüstrinin bir programlama modeli
yardı­mıyla optimizasyona ulaşmak istediğini düşü­nerek, modelin nasıl
kurulabileceğini ve mo­delde yer alan kavramların ne anlam taşıya­caklarım
görmeye çalışalım.

Böyle bir problemin
amaç fonksiyonu, top­lam üretimin piyasa değerinin maksimum kı­lınması
olabilir. Yukarıda da belirtildiği gibi, bu fonksiyonun doğrusal olması
gerekecektir. Böyle bir fonksiyon şu şekilde yazılabilir:

Z    =

C2X2

+    c,,x

nAn

Burada X|,X2, …,xn
endüstri tarafından üre­tilen n sayıda mal, cj_, C2, cn ise bu malların pi­yasa
fiyatlarıdır.

Öte yandan bu
endüstride üretim belli mik­tarda kaynakla gerçekleştirilebilir. Endüstri­de m
tane b miktarda kaynak olduğunu ve her maldan da bir birim üretmek için gerekli
kay­nak miktarlarını gösteren input (girdi) katsayı­larının (ajj) bilindiğini
kabul edelim. Buna gö­re sınır şartlarını belirleyen denklemler siste­mi,

 b2

amlxl   +  
am2x2

 mnxn

olacaktır. Ayrıca
sistemde bilinmeyen değiş­kenler olarak yer alan x’lerin, yani üretilecek mal
miktarlarının negatif olamayacağı şeklin­de bir diğer sınır şartının da
belirtilmesi gerekir. Buna göre, (xı,X2,..,x]1) ş.0

yazılacaktır. Şimdi bu
sistemi cebirsel ifadeler­le özetleyecek olursak,

Z = E: C:Xj

doğrusal fonksiyonu ve

E;ajjX: 4 bj (i =
1,…. mvcj ~ 1…, n)

Görülüyor ki, doğrusal
programlamada bi­linmeyen sayısı denklem sayısından büyüktür. Başka bir deyişle
n > m dir. Bunun sonucu olarak nihai çözümde n-m kadar x değişkeni sıfır
değer alacaktır. Dolayısıyla bu endüstri­de, hangi mallardan ne miktarda
üretilerek toplam üretim piyasa değerinin maksimum kı­lınacağı, çözüm sonucunda
anlaşılacaktır,

Doğrusal programlama
değişik şekillerde çö­zümlenebilir. Bu çözüm yollarının en basit şekli,
kısıtlayıcı ilişkilerin ikili eksenler üzerin­de doğrular olarak çizilmesi ve
uygun çözüm alanının saptanmasıdır. Doğrusal programla­ma problemlerinin
çözümünde grafik yöntem­lerinden yararlanabilmek için, sözkonusu problemlerin
en fazla üç değişkeni ihtiva et­mesi gerekir. Çünkü üç boyuttan daha fazlası
için grafik çizimi yapılamamaktadır.

Bazı hallerde maıriks
cebir aracılığı ile tam uygun çözüm alanının saptanması İmkânı var­dır. Ancak
matriks çözüm her doğrusal prog­ramlama ilişkisinde mutlaka amaç fonksiyonu­nun
maksimum veya minimum kılan çözümü­nü getirmeyebilir. Bununla beraber matriks
Çözüm ile saptanan değişken değerleri mutla­ka uygun çözüm alanı içinde yer
alırlar.

Doğrusal programlama
çözümlerinin en mü­kemmel şekli olan sİmpleks metod; her tip doğrusal
programlama çözümlerinde kullanı­labilir niteliktedir. Sİmpleks metod uygulama­sında
programda içerilen değişken sayısının çözümün pratik olarak izlenmesinde hiç
bir

olumsuz etkisi
olmadığı gibi aksine bu İlişkiyi kolayca İzleme imkânı kazandırıcı niteliği var­dır.

Mustafa SEVÜKTEKİN Bk.
Gircli-Çıktı Analizi; Oyun Teorisi